I.
Intérêts Composés (Suite Géométrique)
1. Définition
Les intérêts sont dits composés si à la fin
de chaque période, les intérêts générés sont ajoutés au capital pour produire
eux-mêmes de nouveaux intérêts. Les intérêts composés sont aussi appelés
intérêts capitalisés.
D’ou
Un
capital est placé à intérêts composés lorsque le montant des intérêts produits
à la fin de chaque période de placement s’ajoute au capital placé pour devenir
productif d’intérêts de la période suivante.
Exemple 1:
Un capital de 50 000 DA est placé à intérêts composés au taux annuel
de 4 % pendant 5 ans.la valeur acquise de la cinquième année est :
C5 = Co ( 1+i ) ⁵ è C5 = 50 000 x 1,04 ⁵ è C5 = 60 832,64 DA
Exemple 2:
Quel capital faut-il placer pendant 5 ans au taux
de 3,5 % l’an pour obtenir une valeur acquise de 100 000 DA ?
Cn = 100 000 DA ; i = 35% ; n = 5 ans
Co = 100 000 x ( 1,035) ‾ ⁵ è Co = 84 197.32 DA
Exemple 3 ;
Un capital de 200 000 DA placé en
capitalisation trimestrielle pendant 5 ans a une valeur acquise de 300 000 DA
au terme du placement. Calculer le taux trimestriel de placement.
Co = 200 000 DA ; C5 = 300 000
DA ; n =
5 ans i=?
300 000 = 200 000 x ( 1+ i ) ⁵ è ( 1+ i ) ⁵ = 300 000 / 200 000 = 3/2
Exemple 4 :
Un capital de 100 000 DA placé à intérêts composés à capitalisation
annuelle au taux de 4 % par année. Au terme du placement sa valeur
acquise est 150 000 DA.
Calculer la durée du placement.
Co = 100 000 DA ; Cn=150 000 DA ; i =
0,04 par année. n= ?
150 000 = 100 000 (
1+0,04 )ⁿ è ( 1+0,04 )ⁿ = 150
000/100 000
è ( 1+0,04 )ⁿ = 1,5
Propriétés de la fonction logarithme ln : ln aⁿ = n ln a
ln( 1+0,04 )ⁿ = ln1,5 è n ln( 1.04 ) = ln1,5 è n= ln1,5/ln1,04 è
n=10,34
10 ans et 0.34 Années è 0.34 x 12 =
4,08 è 10 ans, 4 mois et 8 jours
1. Taux
équivalents
Deux taux, définit sur des
périodes différentes, sont équivalents lorsque appliqués à un même capital
pendant la même durée, produisent la même valeur acquise.
Les taux proportionnels aux
durées des périodes de placement ne sont pas équivalents pour le calcul des
intérêts composés.
Ainsi les taux de 12 % l’an et 1
% le mois sont proportionnels. Ils ne sont pas équivalents en intérêts composés
Les taux les plus utilisés :
Exercice 1 :
Un investisseur place 500 000 DA pendant 5 ans à intérêt composé, au taux annuel de
4,5%.
1)
Calculer l’intérêt produit par ce placement à
la fin de la première année.
2)
Calculer la valeur acquise par ce capital au
bout des cinq ans de placement.
3)
Calculer l’intérêt total produit par ce
placement au bout des cinq années.
Solution
1 :
Co = 500 000 ç è i = 4,5 %
ç è n = 5
1)
C1 = 500 000
( 1+ 0.045 )¹ = 522 500
DA è i1 = 522 500
– 500 000 è
i1 = 22 500 DA
2)
C5 = 500 000
( 1+ 0.045 )⁵ è
C5 = 623 090,96 DA
3) i5 = 623 090,96 – 500 000 è i5 = 123 090,96 DA
Exercice 2
On place aujourd’hui 400 000 DA à intérêt composé au taux annuel de 5,2%. Au
terme du placement, on dispose de 600 000 DA.
1) Déterminer la durée du
placement, n.
2) Calculer l’intérêt de l’année
(n–2).
3) Calculer l’intérêt total
produit au bout de (n –2) années de placement.
Solution 2 :
Co = 400 000 ç è Cn = 600 000 ç è i = 5, 2 % ç è n =?
1)
La durée du placement n
600 000 = 400 000 (1 + 0,052) ⁿ è (1,052)
ⁿ = 600 000 / 400 000 = 6/4
n = 7.9984 è n
= 8 ans
2)
L’intérêt de l’année (n–2)
C6
= 400 000 (1 + 0.052) ⁶ = 542 193,65
C5 = 400 000 (1 + 0.052) ⁵ = -515 393,20
L’intérêt
de (6° année) = 26 800,45 DA
3)
L’intérêt total produit (n–2)
I = C6 – Co è I = 542 193, 65 DA
– 400 000 DA è I = 142 193, 65 DA
Exercice 3
Un capital
de 100 000 DA est placé pendant 9 ans et 9 mois aux conditions suivantes :
- 12% les
cinq premières années;
- 14% les
sept semestres suivants;
- 9% le reste du temps.
Calculer la
valeur acquise par ce capital en fin de placement.
Solution 3 :
1) Co = 100 000 DA ; n = 5 ans ; i = 12%
C5 = 100 000 x (1+ 0, 12)⁵ = 176 234, 16 DA
2) Co = 176 234 , 16 DA
;
n = 7 semestres ; i = 14%
C7 = 176 234, 16 (1+0.14) ⁷ = 440 985,
23 DA
3) Co = 440 985 , 23 DA ; i = 9%
Va = 440 985, 23 (1 + 0, 09) = 480 673, 90 DA
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